La paradoja Russell. Marisa Pérez Bodegas

¿Qué es una paradoja? Una declaración en apariencia verdadera que conduce a una situación contra el sentido común. La de Russell es una de las más famosas, ya que hizo temblar la teoría de los conjuntos que pone base a las matemáticas. ¿Cómo se formula?
-Consideremos un conjunto cuyos elementos son todas las sillas del mundo. Es evidente que el propio conjunto no es una silla. Por tanto no es un elemento en sí mismo. Los conjuntos que cumplan esa condición (no ser elementos del propio conjunto) se denominan conjuntos normales.
-¿Puede haber conjuntos que se contengan a sí mismos? Pues sí. Por ejemplo, si consideramos el conjunto de todos los objetos matemáticos, el propio conjunto es un objeto matemático, y por lo tanto un elemento en sí mismo. A estos conjuntos que se contienen a sí mismos los llamaremos conjuntos singulares. Todo conjunto que podamos formar es normal o singular.
-El meollo es éste: consideremos un conjunto cuyos elementos son todos los conjuntos normales que se pueden formar. Llamémosle M. Si M es normal formará parte de M, por ser M el conjunto de todos los conjuntos normales. Pero a la vez, por ser M normal, no puede contenerse a sí mismo como elemento, y por lo tanto M no puede pertenecer a M.
-Hay otra opción posible: si M es singular entonces M no pertenece a M. Pero en este caso M no es un elemento en sí mismo, es decir, cumple la definición de conjunto normal, y por lo tanto M es normal, es decir, M pertenece a M.
-Es decir: si M pertenece a M podemos demostrar que M no pertenece a M, y viceversa. He aquí la paradoja.
-El propio Bertrand Russell explicó su paradoja en términos sencillos:
-El único barbero de la ciudad dice que afeitará a todos aquellos que no se afeiten a sí mismos. Pregunta:¿Quién afeitará al barbero? Si no se afeita a sí mismo será una de las personas de la ciudad que no se afeitan a sí mismas, con lo cual debería afeitarse, siendo por tanto una de las personas que se afeitan a sí mismas, no debiendo por tanto afeitarse.
-La paradoja hizo surgir un problema importante: si las Matemáticas se basan en la teoría de los conjuntos que esta paradoja ataca, ¿cómo se sostiene todo? Tras años de intentos infructuosos, los lógicos zanjaron la cuestión estipulando que un conjunto que se contenga a sí mismo no es un conjunto. Y así quedaron las cosas, de momento.